Standart Sapma Hesaplama
Verilerinizi girin; ortalama, medyan, mod, açıklık, varyans ve standart sapma (örneklem ve kitle) anında, adım adım tabloyla hesaplansın.
Değerleri noktalı virgül, boşluk veya alt alta yazarak ayırın. Virgül ondalık işaretidir (12,5).
| Veri | Ortalama | Medyan | Örneklem s | Kitle σ |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 4,5 | 2,138 | 2 |
| Sınav notları: 45, 60, 70, 85, 90 | 70 | 70 | 18,371 | 16,432 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3 | 3 | 1,581 | 1,414 |
| 10, 10, 10, 10 | 10 | 10 | 0 | 0 |
| Boylar (cm): 165, 170, 172, 180, 158, 175 | 170 | 171 | 7,72 | 7,047 |
Standart Sapma Nedir?
Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösteren yayılım ölçüsüdür. İki sınıfın not ortalaması aynı 70 olabilir; ama birinde notlar 65 ile 75 arasında toplanırken diğerinde 30 ile 100 arasına dağılmış olabilir. Ortalama bu farkı göstermez, standart sapma gösterir. İstatistikte, kalite kontrolde, finansta risk ölçümünde ve bilimsel deneylerde en sık kullanılan ölçülerden biridir.
Formüller
- Aritmetik ortalama: x̄ = Σx / n
- Kitle varyansı: σ² = Σ(x − x̄)² / n
- Örneklem varyansı: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)
- Standart sapma: varyansın kareköküdür (σ = √σ², s = √s²).
- Medyan: veriler sıralandığında ortadaki değer; çift sayıda veri varsa ortadaki iki değerin ortalaması.
- Mod: en sık tekrar eden değer. Açıklık: en büyük − en küçük.
Adım Adım Örnek
Veri seti: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8).
- Toplam: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40. Ortalama: 40 / 8 = 5.
- Her değerden ortalamayı çıkarın: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
- Farkların karelerini alın: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. Kareler toplamı = 32.
- Kitle varyansı: 32 / 8 = 4, kitle standart sapması: √4 = 2.
- Örneklem varyansı: 32 / 7 ≈ 4,571, örneklem standart sapması ≈ 2,138.
- Medyan: sıralı verinin 4. ve 5. değerlerinin ortalaması (4 + 5) / 2 = 4,5. Mod: 4.
Örneklem mi, Kitle mi?
Bir sınıftaki tüm öğrencilerin notlarını inceliyor ve yalnızca o sınıf hakkında konuşuyorsanız veri kitlenin tamamıdır; n'e bölen formül uygundur. Türkiye'deki tüm lise öğrencileri hakkında fikir edinmek için 200 öğrencilik bir grup seçtiyseniz bu bir örneklemdir ve n−1'e bölen formül kullanılmalıdır. Veri sayısı büyüdükçe iki sonuç arasındaki fark küçülür; az veride fark belirgindir.
Standart Sapmayı Yorumlama
Normal (çan eğrisi) dağılıma yakın verilerde değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın bir standart sapma, %95'i iki standart sapma, %99,7'si üç standart sapma yakınındadır. Ortalaması 70, standart sapması 10 olan bir sınavda öğrencilerin büyük çoğunluğunun 60 ile 80 arasında not aldığı söylenebilir. Farklı ölçekteki verileri karşılaştırırken standart sapmanın ortalamaya oranı olan değişim katsayısına da bakılabilir.
Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Ondalık ayırıcı virgüldür; değerleri virgülle ayırmayın, noktalı virgül veya boşluk kullanın.
- Tek veride örneklem standart sapması tanımsızdır (n − 1 = 0).
- Uç değerler standart sapmayı büyük ölçüde artırır; veri giriş hatalarını kontrol edin.
- Excel'de STDSAPMA.S örneklem, STDSAPMA.P kitle formülüne karşılık gelir.
Standart sapma neyi gösterir?
Verilerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını gösterir. Standart sapma küçükse değerler ortalamaya yakın ve birbirine benzerdir; büyükse değerler geniş bir aralığa dağılmıştır. Birimi verinin kendi birimiyle aynıdır.
Örneklem ve kitle standart sapması arasındaki fark nedir?
Kitle (popülasyon) standart sapmasında kareler toplamı n'e, örneklem standart sapmasında n−1'e bölünür. Elinizdeki veri ilgilendiğiniz grubun tamamıysa kitle, daha büyük bir gruptan seçilmiş bir parçaysa örneklem formülü kullanılır. Bilimsel çalışmalarda ve Excel'deki STDSAPMA (STDEV.S) fonksiyonunda genellikle örneklem formülü esas alınır.
Neden n−1'e bölünür?
Örneklem ortalaması, verilere kitle ortalamasından daha yakın olduğu için sapmalar olduğundan küçük çıkar. n−1'e bölmek (Bessel düzeltmesi) bu eğilimi giderir ve varyansın yansız bir tahminini verir.
Varyans ile standart sapma arasındaki ilişki nedir?
Standart sapma varyansın kareköküdür. Varyans, sapmaların karelerinin ortalaması olduğu için birimi verinin biriminin karesidir; karekök alınarak tekrar verinin birimine dönülür.
Verileri nasıl girmeliyim?
Değerleri noktalı virgül, boşluk veya her satıra bir değer gelecek şekilde ayırın. Türkçede virgül ondalık işareti olduğu için 12,5 değeri on iki buçuk olarak okunur; virgül ayırıcı olarak kullanılmaz.
Mod yoksa ne olur?
Her değer yalnızca bir kez geçiyorsa veri setinin modu yoktur. Birden fazla değer aynı en yüksek sıklıkta geçiyorsa veri seti çok modludur ve araç tüm modları listeler.
Medyan ile ortalama neden farklı çıkar?
Ortalama tüm değerlerden etkilenir; çok uç bir değer ortalamayı kendine doğru çeker. Medyan ise sıralı verinin ortasındaki değerdir ve uç değerlerden etkilenmez. Gelir gibi çarpık dağılımlarda medyan daha temsilî olabilir.