Köklü Sayı Hesaplama
Sayıyı ve kök derecesini seçin; karekök, küpkök veya n. dereceden kökün sadeleştirilmiş hâli ve ondalık değeri adım adım hesaplansın.
| Kök | Sade hâli | Ondalık değer |
|---|---|---|
| √72 | 6√2 | 8,485281 |
| √50 | 5√2 | 7,071068 |
| √12 | 2√3 | 3,464102 |
| √200 | 10√2 | 14,142136 |
| √144 | 12 | 12 |
| ∛54 | 3∛2 | 3,779763 |
| ∛128 | 4∛2 | 5,039684 |
| ∜162 | 3∜2 | 3,567621 |
Köklü Sayı Nedir?
Köklü sayı, bir sayının hangi sayının belirli bir kuvveti olduğunu soran ifadedir. ⁿ√a, n. kuvveti a olan sayıyı gösterir. n = 2 olduğunda karekök (√), n = 3 olduğunda küpkök (∛) adını alır. Kök almak, üs almanın ters işlemidir. Geometride kenar ve köşegen uzunluklarında, fizikte hız ve enerji hesaplarında, istatistikte standart sapmada sürekli karşımıza çıkar. Okul matematiğinde ise köklü sayıları sadeleştirmek, toplamak ve paydayı rasyonel yapmak temel konulardandır.
Kök Sadeleştirme Yöntemi
- Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırın.
- Kökün derecesi kadar özdeş çarpanı gruplayın (karekökte ikili, küpkökte üçlü).
- Her gruptan bir çarpan kök dışına çıkar; dışarı çıkanlar çarpılır.
- Gruplanamayan çarpanlar kök içinde kalır ve çarpılır.
Adım Adım Örnek: √72
- 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3².
- Karekök olduğu için ikili gruplar: (2·2) ve (3·3); bir 2 artakalır.
- Kök dışına 2 ve 3 çıkar: 2 · 3 = 6. İçeride 2 kalır.
- Sonuç: √72 = 6√2 ≈ 8,485.
Küpkök örneği: ∛54
54 = 2 · 3³. Üç tane 3 bir grup oluşturur ve kök dışına tek 3 çıkar; 2 içeride kalır. Sonuç ∛54 = 3∛2 ≈ 3,780.
Köklü Sayılarla İşlem Kuralları
- √a · √b = √(a·b) (a, b ≥ 0)
- √a / √b = √(a/b) (b > 0)
- m√a + n√a = (m + n)√a — yalnızca kök içleri aynıysa.
- (ⁿ√a)^n = a ve ⁿ√a = a^(1/n).
- a√b = √(a²·b): katsayı kök içine karesi alınarak girer.
Dikkat Edilmesi Gerekenler
- √(a + b), √a + √b'ye eşit değildir: √(9 + 16) = 5, ama √9 + √16 = 7.
- Sadeleştirme yalnızca pozitif tam sayılar için gösterilir; ondalık sayılarda yalnızca ondalık değer verilir.
- Ondalık sonuçlar yaklaşık değerdir; kesin cevap gereken sorularda sadeleştirilmiş köklü hâli kullanın.
- Çift dereceli kökler negatif sayılar için reel sayılarda tanımsızdır.
Kök sadeleştirme nasıl yapılır?
Kök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır. Karekökte her iki özdeş çarpandan biri, küpkökte her üç özdeş çarpandan biri kök dışına çıkar. √72 = √(2³·3²) = 2·3·√2 = 6√2 olur.
Karekök ile küpkök arasındaki fark nedir?
Karekök (√), karesi verilen sayıyı veren değerdir: √49 = 7 çünkü 7² = 49. Küpkök (∛) ise küpü verilen sayıyı veren değerdir: ∛27 = 3 çünkü 3³ = 27.
Negatif sayının karekökü alınabilir mi?
Reel sayılarda alınamaz; çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif değildir. Sonuç karmaşık sayıdır (√−4 = 2i). Tek dereceli köklerde ise negatif sayının kökü alınabilir: ∛−8 = −2.
Tam kare sayılar hangileridir?
Karekökü tam sayı olan sayılardır: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ve devamı. Bu sayıların kökü sadeleştirildiğinde kök işareti tamamen kalkar.
Kök ile kesirli üs arasındaki ilişki nedir?
n. dereceden kök, 1/n kuvvetine eşittir: ⁿ√a = a^(1/n). Örneğin √9 = 9^(1/2) = 3 ve ∛8 = 8^(1/3) = 2'dir.
Köklü sayılar nasıl toplanır?
Yalnızca kök içleri ve dereceleri aynı olan köklü sayılar toplanabilir: 3√2 + 5√2 = 8√2. Farklı görünenleri önce sadeleştirin: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
Paydadaki kök nasıl kaldırılır?
Payda ve pay aynı kökle çarpılır (paydayı rasyonel yapma): 1/√2 = √2/2. a + √b biçimindeki paydalarda eşleniği (a − √b) ile çarpılır.