EBOB EKOK Hesaplama
Sayıları virgül veya boşlukla ayırarak yazın; EBOB ve EKOK, asal çarpanlara ayırma, Öklid algoritması ve bölme tablosuyla birlikte anında hesaplansın.
Pozitif tam sayılar, en fazla 1.000.000.000.000.
EBOB
6
2 × 3
EKOK
180
2² × 3² × 5
Asal çarpanlara ayırma
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır. EKOK: tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.
Bölme yöntemi (okul usulü)
| 12 | 18 | 30 | 2 (ortak) |
| 6 | 9 | 15 | 2 |
| 3 | 9 | 15 | 3 (ortak) |
| 1 | 3 | 5 | 3 |
| 1 | 1 | 5 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
Sağ sütundaki tüm bölenlerin çarpımı EKOK'u, yalnızca "ortak" işaretli olanların çarpımı EBOB'u verir.
| Sayılar | Asal çarpanlar | EBOB | EKOK |
|---|---|---|---|
| 12, 18 | 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3² | 6 | 36 |
| 24, 36 | 24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3² | 12 | 72 |
| 15, 20, 25 | 15 = 3 × 5; 20 = 2² × 5; 25 = 5² | 5 | 300 |
| 8, 12, 16 | 8 = 2³; 12 = 2² × 3; 16 = 2⁴ | 4 | 48 |
| 48, 180 | 48 = 2⁴ × 3; 180 = 2² × 3² × 5 | 12 | 720 |
| 7, 13 | 7 = 7; 13 = 13 | 1 | 91 |
| 60, 84, 120 | 60 = 2² × 3 × 5; 84 = 2² × 3 × 7; 120 = 2³ × 3 × 5 | 12 | 840 |
EBOB ve EKOK Nedir?
EBOB, "en büyük ortak bölen"in kısaltmasıdır. İki ya da daha fazla doğal sayının her birini kalansız bölen sayıların en büyüğüdür. EKOK ise "en küçük ortak kat"tır; verilen sayıların her birinin katı olan en küçük pozitif doğal sayıyı ifade eder. Örneğin 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6 olduğundan EBOB(12, 18) = 6 bulunur. 12'nin katları 12, 24, 36, 48…; 18'in katları 18, 36, 54… olduğundan ilk ortak kat 36'dır ve EKOK(12, 18) = 36.
Bu iki kavram ortaokul matematik müfredatının temel konularındandır; LGS, YKS (TYT) ve KPSS sınavlarında hem doğrudan hem de problem biçiminde sıkça sorulur. Kesirleri sadeleştirmek (EBOB) ve kesirlerin paydalarını eşitlemek (EKOK) için de günlük hesaplarda kullanılır.
Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde tek bir şekilde yazılabilir (aritmetiğin temel teoremi). EBOB ve EKOK'u bulmanın en öğretici yolu sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- 30 = 2 × 3 × 5
EBOB için yalnızca tüm sayılarda ortak olan asal çarpanlar alınır ve her birinin en küçük üssü kullanılır: 2¹ × 3¹ = 6. EKOK için sayılarda geçen bütün asal çarpanlar alınır ve her birinin en büyük üssü kullanılır: 2² × 3² × 5 = 180. Araç bu ayrıştırmayı her sayı için üslü gösterimle yazar; sonucu kâğıt üzerindeki çözümünüzle karşılaştırabilirsiniz.
Bölme Yöntemi (Okul Usulü)
Okullarda en çok öğretilen yöntem, sayıları yan yana yazıp sağlarına dikey bir çizgi çekmektir. Çizginin sağına sayılardan en az birini bölen en küçük asal sayı yazılır, bölünebilen sayılar bölünür, bölünemeyenler aynen aşağı indirilir. Tüm sayılar 1 olana kadar işlem sürer. 12, 18 ve 30 için:
- 12, 18, 30 → üçü de 2'ye bölünür (ortak): 6, 9, 15
- 6, 9, 15 → yalnızca 6 bölünür: 3, 9, 15
- 3, 9, 15 → üçü de 3'e bölünür (ortak): 1, 3, 5
- 1, 3, 5 → 3'e bölünür: 1, 1, 5
- 1, 1, 5 → 5'e bölünür: 1, 1, 1
Sağdaki bölenlerin hepsinin çarpımı EKOK'tur: 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180. Yalnızca "ortak" satırlardaki bölenlerin çarpımı EBOB'dur: 2 × 3 = 6. Hesaplama aracındaki tablo bu adımları otomatik olarak gösterir ve ortak bölenleri işaretler.
Öklid Algoritması
Büyük sayılarda asal çarpanlara ayırmak zahmetli olabilir. MÖ 300 civarında Öklid'in tanımladığı algoritma yalnızca bölme ve kalan kullanır: EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b) ve EBOB(a, 0) = a. 48 ve 18 için 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0 adımlarıyla EBOB = 6 bulunur. Üç veya daha fazla sayıda EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), c) biçiminde ikişer ikişer ilerlenir. EKOK ise EKOK(a, b) = a × b ÷ EBOB(a, b) formülüyle hesaplanır. Aracımız iki sayı girdiğinizde Öklid adımlarını da listeler.
Günlük Hayattan EBOB EKOK Problemleri
EBOB örneği: 84 cm ve 120 cm uzunluğundaki iki kurdele, hiç artık kalmadan eşit ve mümkün olan en uzun parçalara kesilecek. Parça uzunluğu EBOB(84, 120) = 12 cm olur; toplam 7 + 10 = 17 parça elde edilir. EKOK örneği: Bir otobüs 12 dakikada, diğeri 18 dakikada bir kalkıyor. İkisi saat 09.00'da birlikte kalktıysa bir sonraki ortak kalkış EKOK(12, 18) = 36 dakika sonra, 09.36'dadır.
Dikkat Edilmesi Gerekenler
- EBOB, sayıların en küçüğünden büyük olamaz; EKOK, sayıların en büyüğünden küçük olamaz.
- Sayılardan biri diğerlerinin hepsini bölüyorsa EBOB o sayıdır; biri diğerlerinin katıysa EKOK o sayıdır.
- EBOB × EKOK = a × b kuralı yalnızca iki sayı için geçerlidir.
- Araç 0 ve negatif sayıları kabul etmez; ondalıklı sayılar için önce sayıları 10'un kuvvetleriyle tam sayıya çevirin.
EBOB ve EKOK nedir?
EBOB (en büyük ortak bölen), verilen sayıların hepsini kalansız bölen en büyük doğal sayıdır. EKOK (en küçük ortak kat), verilen sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif doğal sayıdır. Örneğin 12 ve 18 için EBOB 6, EKOK 36'dır.
EBOB ile EKOK arasında nasıl bir ilişki vardır?
İki sayı için EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b eşitliği her zaman geçerlidir. 12 × 18 = 216 ve 6 × 36 = 216 olduğu gibi. Bu kural üç veya daha fazla sayıda doğrudan geçerli değildir.
Aralarında asal sayılar ne demek?
EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal denir. 8 ve 15 asal olmadığı hâlde aralarında asaldır. Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir.
Öklid algoritması nasıl çalışır?
Büyük sayı küçüğe bölünür ve kalan bulunur. Ardından bölen, kalana bölünür. Kalan 0 olana kadar devam edilir; sıfırdan önceki son kalan (son bölen) EBOB'dur. 48 ve 18 için: 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0, EBOB = 6.
EBOB EKOK problemlerinde hangisini kullanacağımı nasıl anlarım?
Bir bütünü eşit ve en büyük parçalara bölmek (kumaşı eşit kesmek, fidanları eşit aralıkla dikmek) EBOB sorusudur. Farklı periyotlarla tekrar eden olayların ilk kez birlikte gerçekleşeceği anı bulmak (otobüslerin aynı anda kalkması, zillerin birlikte çalması) EKOK sorusudur.
Kaç sayıya kadar hesaplama yapabilirim?
Araç 2 ile 10 arasında pozitif tam sayıyı ve her biri en fazla 1 trilyon (10¹²) olan değerleri destekler. EKOK bu sınırları aşacak kadar büyürse sonuç yerine uyarı gösterilir.
Bölme yöntemi tablosu nasıl okunur?
Sayılar yan yana yazılır, sağa çizilen çizginin yanına en küçük asal bölen yazılır ve bölünebilen sayılar bölünür. Tüm sayılar 1 olana kadar sürer. Sağdaki bölenlerin çarpımı EKOK'u, yalnızca tüm sayıları aynı anda bölen bölenlerin çarpımı EBOB'u verir.